Equações para Concursos: Guia Completo com Macetes e Questões Resolvidas

Equações estão entre os conteúdos mais importantes da Matemática para concursos públicos.

Mais do que saber fazer contas, o candidato precisa aprender a interpretar o enunciado, identificar a incógnita e transformar as informações do problema em linguagem matemática.

É justamente nessa etapa que muitos candidatos encontram dificuldade: entendem operações básicas, mas não sabem qual conta montar.

Neste guia, você aprenderá desde os conceitos fundamentais até equações do 1º grau, equações com frações, sistemas de equações e equações do 2º grau, além de estratégias para resolver situações-problema com mais rapidez.

A ideia não é apenas decorar fórmulas. Você vai aprender a reconhecer os padrões que aparecem nas questões e entender quando e como montar uma equação.

O que é uma equação?

Uma equação é uma igualdade matemática que possui pelo menos um valor desconhecido, chamado de incógnita.

Observe:

$$2x + 5 = 15$$

Nesse exemplo:

• \(x\) é a incógnita;
• \(2x + 5\) é o primeiro membro da equação;
• \(15\) é o segundo membro;
• o sinal \(=\) estabelece a igualdade;
• resolver a equação significa descobrir o valor de \(x\) que torna essa igualdade verdadeira.

Nesse caso:

$$2x + 5 = 15$$

Subtraindo 5 dos dois lados:

$$2x = 10$$

Dividindo os dois lados por 2:

$$x = 5$$

Portanto, a solução da equação é 5.

O que significa resolver uma equação?

Resolver uma equação significa encontrar o valor da incógnita que faz os dois membros apresentarem o mesmo resultado.

Podemos verificar a solução encontrada substituindo \(x = 5\) na equação original:

$$2(5) + 5 = 15$$

$$10 + 5 = 15$$

$$15 = 15$$

A igualdade é verdadeira. Logo, \(x = 5\) realmente é uma solução.

O princípio da equivalência

Uma das ideias mais importantes para resolver equações é manter a igualdade equilibrada.

Imagine uma balança. Se fizermos uma operação em um lado, precisamos realizar uma operação equivalente no outro para preservar a igualdade.

Por exemplo:

$$x + 7 = 12$$

Podemos subtrair 7 dos dois membros:

$$x + 7 – 7 = 12 – 7$$

Logo:

$$x = 5$$

No dia a dia, costumamos dizer:

“O 7 estava somando e passou para o outro lado subtraindo.”

Esse macete funciona, mas é importante entender o que realmente aconteceu: subtraímos 7 dos dois membros da equação.

Essa compreensão ajuda a evitar erros quando as equações ficam mais complexas.

Como transformar um enunciado em uma equação

Em concursos, a maior dificuldade normalmente não está na resolução da equação, mas em montá-la corretamente a partir do texto.

Por isso, vale desenvolver uma espécie de “dicionário” entre português e matemática.

Dicionário de tradução: português → matemática

Algumas expressões aparecem com frequência:

• um número desconhecido → \(x\);
• o dobro de um número → \(2x\);
• o triplo de um número → \(3x\);
• a metade de um número → \(\frac{x}{2}\);
• dois terços de um número → \(\frac{2x}{3}\);
• um número acrescido de 5 → \(x + 5\);
• um número diminuído de 8 → \(x – 8\);
• dois números consecutivos → \(x\) e \(x + 1\);
• três números consecutivos → \(x\), \(x + 1\) e \(x + 2\);
• a diferença entre dois números → \(x – y\);
• o produto de dois números → \(xy\);
• o quociente entre dois números → \(\frac{x}{y}\);
• é igual a / resulta em / totaliza → \(=\).

Exemplo

Considere: O dobro de um número, aumentado de 7, é igual a 25. Qual é esse número?

Chamamos o número desconhecido de \(x\).

• “O dobro de um número”: \(2x\)
• “Aumentado de 7”: \(2x + 7\)
• “É igual a 25”: \(2x + 7 = 25\)

Agora resolvemos:

$$2x = 25 – 7$$

$$2x = 18$$

$$x = 9$$

Resposta: o número é 9.

Equações do 1º Grau

Uma equação do 1º grau com uma incógnita pode ser representada, de maneira geral, por:

$$ax + b = 0$$

com \(a \neq 0\).

A incógnita aparece elevada apenas à primeira potência.

Exemplos:

• \(3x + 6 = 18\)
• \(5x – 7 = 2x + 8\)
• \(\frac{x}{3} + 4 = 10\)

Todas são equações do 1º grau.

Como resolver uma equação do 1º grau

Considere:

$$5x + 7 = 32$$

Primeiro, isolamos o termo que contém \(x\):

$$5x = 32 – 7$$

$$5x = 25$$

Agora dividimos por 5:

$$x = 5$$

Verificação

Substituindo \(x = 5\):

$$5(5) + 7 = 32$$

$$25 + 7 = 32$$

$$32 = 32$$

A solução está correta.

Equações com incógnita nos dois membros

Agora considere:

$$5x + 4 = 2x + 19$$

Agrupamos os termos que possuem \(x\):

$$5x – 2x = 19 – 4$$

$$3x = 15$$

$$x = 5$$

Uma estratégia simples é:

• reunir os termos com incógnita;
• reunir os números;
• reduzir os termos semelhantes;
• isolar a incógnita.

Equações com parênteses

Outro formato comum envolve a propriedade distributiva.

Exemplo:

$$3(x + 2) – 5 = 2x + 9$$

Aplicando a distributiva:

$$3x + 6 – 5 = 2x + 9$$

Simplificando:

$$3x + 1 = 2x + 9$$

Agora agrupamos as incógnitas:

$$3x – 2x = 9 – 1$$

$$x = 8$$

Cuidado com sinais

Observe:

$$4(x – 3)$$

A distributiva produz:

$$4x – 12$$

E não:

$$4x – 3$$

Quando houver sinal negativo antes dos parênteses, a atenção deve ser ainda maior.

Equações do 1º Grau com Frações

Frações costumam tornar a equação visualmente mais complicada, mas o procedimento continua sendo o mesmo.

Considere:

$$\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 10$$

O MMC entre 2 e 3 é 6. Multiplicando toda a equação por 6:

$$6 \cdot \left(\frac{x}{2}\right) + 6 \cdot \left(\frac{x}{3}\right) = 6 \cdot 10$$

Simplificando:

$$3x + 2x = 60$$

$$5x = 60$$

$$x = 12$$

Atenção: Aqui, o MMC é apenas uma ferramenta utilizada para eliminar os denominadores. O assunto principal continua sendo equação do 1º grau com frações.

Sistemas de Equações

Algumas situações apresentam duas incógnitas relacionadas por duas condições diferentes. Nesse caso, podemos utilizar um sistema de equações.

Considere:

Em um evento foram vendidos 80 ingressos. O ingresso adulto custava R$ 30 e o infantil R$ 15. A arrecadação foi de R$ 1.800. Quantos ingressos de adulto foram vendidos?

Chamemos:

• \(a\) = número de adultos;
• \(c\) = número de crianças.

Temos:

$$a + c = 80$$

e:

$$30a + 15c = 1800$$

Da primeira equação:

$$c = 80 – a$$

Substituímos na segunda:

$$30a + 15(80 – a) = 1800$$

$$30a + 1200 – 15a = 1800$$

$$15a = 1800 – 1200$$

$$15a = 600$$

$$a = 40$$

Foram vendidos 40 ingressos para adultos.

Método da substituição

O exemplo anterior utilizou o método da substituição:

• isolamos uma incógnita em uma das equações;
• substituímos essa expressão na outra;
• encontramos uma das incógnitas;
• voltamos à primeira equação para encontrar a segunda.

Método da adição

Considere:

$$\begin{cases} x + y = 20 \\ x – y = 4 \end{cases}$$

Somando as duas equações:

$$2x = 24$$

$$x = 12$$

Substituindo em \(x + y = 20\), temos:

$$12 + y = 20$$

$$y = 8$$

Portanto: \(x = 12\) e \(y = 8\).

O método da adição é especialmente interessante quando uma incógnita pode ser eliminada rapidamente.

Equações do 2º Grau

Uma equação do 2º grau possui a forma geral:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

com \(a \neq 0\).

Exemplo:

$$x^2 + 3x – 108 = 0$$

Diferentemente da equação do 1º grau, agora aparece um termo com \(x^2\).

Como identificar uma equação do 2º grau em um problema

Ela pode surgir quando o enunciado envolve, por exemplo:

• produto entre expressões que contêm a incógnita;
• áreas;
• produto de números consecutivos;
• relações que, depois de desenvolvidas, produzem \(x^2\).

Exemplo: Área de um terreno

Um terreno retangular possui área de 108 m². Seu comprimento possui 3 metros a mais que sua largura.

Se a largura for \(x\), então:

$$\text{largura} = x$$

$$\text{comprimento} = x + 3$$

Como \(\text{Área} = \text{largura} \times \text{comprimento}\), temos:

$$x(x + 3) = 108$$

Aplicando a distributiva:

$$x^2 + 3x = 108$$

Passando tudo para o primeiro membro:

$$x^2 + 3x – 108 = 0$$

Temos uma equação do 2º grau.

Delta e Fórmula de Bhaskara

Para \(ax^2 + bx + c = 0\), calculamos primeiro o discriminante:

$$\Delta = b^2 – 4ac$$

Depois:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

No exemplo \(x^2 + 3x – 108 = 0\), temos:

$$a = 1, \quad b = 3, \quad c = -108$$

Calculando o delta:

$$\Delta = 3^2 – 4(1)(-108)$$

$$\Delta = 9 + 432$$

$$\Delta = 441$$

Então:

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{441}}{2(1)}$$

$$x = \frac{-3 \pm 21}{2}$$

As raízes são:

$$x_1 = \frac{-3 + 21}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

$$x_2 = \frac{-3 – 21}{2} = \frac{-24}{2} = -12$$

Como \(x\) representa a largura de um terreno, não podemos utilizar uma medida negativa.

Logo:

• \(\text{Largura} = 9\text{ m}\)
• \(\text{Comprimento} = 9 + 3 = 12\text{ m}\)

Equação do 2º grau não é a mesma coisa que função quadrática

Essa diferença é importante. Uma equação do 2º grau procura os valores da incógnita que satisfazem uma igualdade:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

Já uma função quadrática estuda uma relação do tipo:

$$f(x) = ax^2 + bx + c$$

incluindo aspectos como gráfico, vértice, crescimento, decrescimento, máximo e mínimo.

Os assuntos são relacionados, mas não são idênticos. Neste guia, nosso foco são equações.

Situações-Problema Resolvidas com Equações

Depois de aprender os principais tipos de equação, precisamos desenvolver a habilidade mais importante para concursos: reconhecer a estrutura matemática escondida no enunciado.

Problemas de idades

Questões de idade costumam relacionar presente, passado e futuro.

Considere:

Hoje, Maria possui quatro vezes a idade de Ana. Há 6 anos, Maria possuía sete vezes a idade de Ana. Qual é a idade atual de Ana?

Chamamos a idade atual de Ana de \(x\).

A idade atual de Maria será: \(4x\).

Há 6 anos:

• Ana: \(x – 6\)
• Maria: \(4x – 6\)

A condição do problema fornece:

$$4x – 6 = 7(x – 6)$$

Aplicando a distributiva:

$$4x – 6 = 7x – 42$$

$$42 – 6 = 7x – 4x$$

$$36 = 3x$$

$$x = 12$$

Ana possui atualmente 12 anos.

Macete

Quando o problema envolver idades, monte uma pequena tabela:

Pessoa	Hoje	Há 6 anos
Ana	\(x\)	\(x – 6\)
Maria	\(4x\)	\(4x – 6\)

Isso reduz bastante os erros de interpretação.

Problemas envolvendo quantias

Considere:

Duas pessoas possuem juntas R$ 350. Uma delas possui R$ 50 a mais que a outra. Quanto possui cada uma?

Chamamos a menor quantia de \(x\). A maior será: \(x + 50\).

Somando:

$$x + (x + 50) = 350$$

$$2x + 50 = 350$$

$$2x = 300$$

$$x = 150$$

Portanto:

• Menor quantia: R$ 150
• Maior quantia: R$ 200

Problemas com frações e sobras

Considere:

Um funcionário utilizou \(\frac{2}{5}\) de sua jornada respondendo e-mails. Do tempo restante, gastou \(\frac{1}{3}\) organizando arquivos e ainda sobraram 3 horas. Qual era a jornada total?

Chamemos a jornada total de \(T\).

Depois dos e-mails, restaram:

$$1 – \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$$

Portanto: \(\frac{3}{5}T\).

Do tempo restante, ele gastou \(\frac{1}{3}\) organizando arquivos. Logo, a fração da sobra final equivale a \(1 – \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\) desse restante:

$$\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{3}{5}T\right) = 3$$

Simplificando os números 3 no numerador e no denominador:

$$\frac{2}{5}T = 3$$

Multiplicando cruzado:

$$2T = 3 \cdot 5$$

$$2T = 15$$

$$T = \frac{15}{2} = 7,5$$

Portanto, a jornada era de 7 horas e 30 minutos (\(7,5\text{ horas} = 7\text{h} + 0,5\text{h} = 7\text{h}30\text{min}\)).

Pegadinha comum

Quando o enunciado disser “um terço do restante”, não calcule um terço do valor inicial. Primeiro descubra quanto restou.

Problemas de capacidade e vazão

Equações também podem aparecer em questões de reservatórios, torneiras e vazão. A ideia básica é relacionar:

$$\text{volume} = \text{vazão} \times \text{tempo}$$

ou trabalhar com frações da capacidade total.

O mais importante é verificar se todas as unidades estão compatíveis.

Se uma vazão estiver em litros por minuto e o tempo em horas, por exemplo, será necessário converter uma das unidades antes de montar a equação.

Macetes para Resolver Equações em Concursos

Conhecer o método tradicional é indispensável. Porém, algumas questões permitem caminhos mais rápidos.

Macete 1: Testar as alternativas

Quando as alternativas fornecem possíveis valores para a incógnita, você pode testar diretamente as respostas. Isso pode ser útil quando montar a equação produz uma expressão trabalhosa.

Exemplo

Um grupo dividiu igualmente uma despesa de R$ 1.200. Duas pessoas desistiram e, por isso, cada participante restante passou a pagar R$ 50 a mais.

Se uma alternativa afirma que 6 pessoas permaneceram, então originalmente havia 8.

• Antes: \(1200 \div 8 = 150\)
• Depois: \(1200 \div 6 = 200\)
• Diferença: \(200 – 150 = 50\)

A condição foi satisfeita. Logo, 6 pessoas participaram.

Quando esse macete vale a pena?

Principalmente quando:

• as alternativas são numéricas;
• testar é mais rápido do que montar a equação;
• os valores são simples;
• você consegue verificar facilmente a condição apresentada.

Macete 2: Hipótese extrema em sistemas

Considere:

Em um estacionamento existem 20 veículos entre carros e motos, totalizando 64 rodas. Quantos carros existem?

Imagine inicialmente que todos sejam motos:

$$20 \times 2 = 40$$

Mas existem 64 rodas. A diferença é:

$$64 – 40 = 24$$

Cada vez que substituímos uma moto por um carro, acrescentamos:

$$4 – 2 = 2 \text{ rodas }$$

Portanto:

$$24 \div 2 = 12$$

Existem 12 carros. Esse raciocínio resolve mentalmente um problema que também poderia ser representado por um sistema de equações.

Macete 3: Trabalhar de trás para frente

Problemas envolvendo frações sucessivas frequentemente podem ser resolvidos por regressão.

Exemplo:

João gastou \(\frac{1}{4}\) do salário com aluguel e depois \(\frac{1}{3}\) do restante com alimentação. Ao final sobraram R$ 600.

Depois da alimentação sobraram \(\frac{2}{3}\) do valor que existia naquele momento.

Se \(\frac{2}{3} = 600\), então \(\frac{1}{3} = 300\). Logo, antes da alimentação havia 900.

Esses R$ 900 representam \(\frac{3}{4}\) do salário inicial.

Se \(\frac{3}{4} = 900\), então \(\frac{1}{4} = 300\).

Portanto: \(4 \times 300 = 1200\).

Salário inicial: R$ 1.200.

Erros Comuns em Questões de Equações

Alguns erros aparecem repetidamente durante a resolução.

1. Escolher mal a incógnita: Antes de escrever qualquer equação, pergunte: O que a questão quer descobrir? Em muitos casos, chamar exatamente essa quantidade de \(x\) simplifica a resolução.
2. Errar a propriedade distributiva: Se \(3(x + 5)\), então \(3x + 15\). O 3 deve multiplicar todos os termos dentro dos parênteses.
3. Trocar sinais sem entender a operação: Evite depender apenas da ideia de “passar para o outro lado trocando o sinal”. Entender as operações realizadas nos dois membros reduz erros em equações mais complexas.
4. Ignorar as unidades: Minutos e horas, metros e centímetros, litros e mililitros não podem ser misturados diretamente. Faça as conversões antes de montar ou finalizar a equação.
5. Aceitar uma raiz matematicamente impossível no contexto: Uma equação do 2º grau pode produzir duas raízes, mas o problema pode aceitar apenas uma. Se \(x\) representa quantidade de pessoas, idade ou comprimento, por exemplo, uma solução negativa normalmente não possui significado no contexto.
6. Usar a fração sobre a base errada: Expressões como “metade do restante” ou “um terço do que sobrou” indicam que a nova fração deve ser calculada sobre o restante, não sobre o valor inicial.
7. Não conferir a resposta: Sempre que houver tempo, substitua o valor encontrado na condição original. Uma verificação de poucos segundos pode revelar erro de sinal ou interpretação.

Como as Equações Aparecem nas Provas

Em concursos públicos, equações podem aparecer diretamente ou escondidas em situações contextualizadas. Entre os formatos que você deve estar preparado para reconhecer estão:

• números desconhecidos;
• dobro, triplo, metade e outras relações;
• problemas de idades;
• divisão e comparação de quantias;
• preços e valores;
• capacidade e vazão;
• equações com frações;
• sistemas envolvendo duas quantidades;
• áreas e relações que resultam em equações do 2º grau.

O ponto central é não tentar adivinhar a operação. Leia o enunciado procurando relações entre as informações. Quando encontrar essas relações, traduza-as para símbolos matemáticos.

Veja também: 👉 Porcentagem na VUNESP: 3 Padrões Mais Cobrados

Roteiro de Estudos de Equações para Concursos

Uma forma eficiente de estudar é dividir o aprendizado em etapas.

• Etapa 1 — Fundamentos: Aprenda incógnita, membros da equação, princípio da equivalência, operações básicas, propriedade distributiva e redução de termos semelhantes.
• Etapa 2 — Equações do 1º Grau: Treine equações simples, incógnita nos dois membros, parênteses e frações.
• Etapa 3 — Interpretação: Pegue enunciados e tente apenas montar a equação, sem resolvê-la. O objetivo dessa etapa é desenvolver tradução algébrica.
• Etapa 4 — Sistemas: Estude método da substituição, método da adição e problemas com duas incógnitas.
• Etapa 5 — Equações do 2º Grau: Aprenda identificação dos coeficientes, cálculo do delta, Fórmula de Bhaskara e interpretação das raízes.
• Etapa 6 — Questões de concursos: Resolva questões variadas e registre seus erros. Identifique a causa: interpretação, montagem, sinal, fração, distributiva ou cálculo. Esse diagnóstico mostra exatamente o que precisa ser revisado.

Questões Resolvidas de Equações para Concursos

Depois de estudar a teoria, pratique com questões de concursos comentadas passo a passo.

• Equações do 1º Grau e Modelagem Algébrica (FUNDATEC 2026 — Prefeitura de Nova Candelária): Questão envolvendo visitas realizadas por um agente e a transformação das informações do enunciado em uma equação do 1º grau.→ Acesse a resolução completa da questão da FUNDATEC.
• Problemas de Idades (Bios Concursos 2026 — Prefeitura de Dormentes): Questão envolvendo relação entre idades e construção de uma equação do 1º grau.→ Veja a questão resolvida sobre problemas de idades.
• Equação do 1º Grau com Frações (Instituto AOCP 2026): Questão para praticar eliminação de denominadores e resolução de equações fracionárias.→ Acesse a resolução da questão do Instituto AOCP.
• Capacidade, Reservatório e Vazão (Rede SARAH 2026): Questão contextualizada envolvendo capacidade de reservatório e vazão, com modelagem matemática por meio de equações.→ Veja a resolução completa da questão da Rede SARAH.
• Divisão de Quantias (VUNESP 2026 — Mogi das Cruzes): Questão envolvendo distribuição de valores entre pessoas e construção de uma equação do 1º grau.→ Acesse a questão resolvida da VUNESP.
• Sistemas de Equações (AMAUC 2025 — Piratuba): Questão envolvendo duas incógnitas e montagem de um sistema de equações aplicado a uma situação prática.→ Veja a resolução completa da questão da AMAUC.

Perguntas Frequentes sobre Equações para Concursos

O que é uma equação?

Equação é uma igualdade matemática que contém uma ou mais incógnitas. Resolver uma equação significa encontrar os valores que tornam essa igualdade verdadeira.

Como montar uma equação a partir de um problema?

Primeiro identifique o que a questão deseja descobrir e represente essa quantidade por uma incógnita, normalmente \(x\). Depois traduza cada relação apresentada no enunciado para linguagem matemática até obter uma igualdade.

Como saber se uma questão é de equação do 1º grau?

Se, depois da modelagem e simplificação, a maior potência da incógnita for 1, temos uma equação do 1º grau.

Como saber se o problema resulta em uma equação do 2º grau?

Se a modelagem produzir um termo \(x^2\), como ocorre frequentemente em produtos entre expressões com a incógnita e determinados problemas de área, pode surgir uma equação do 2º grau.

Quando devo usar um sistema de equações?

Um sistema é especialmente útil quando existem duas ou mais incógnitas e o enunciado fornece relações suficientes entre elas para montar duas ou mais equações.

Equação do 2º grau e função quadrática são a mesma coisa?

Não. São conteúdos relacionados, mas diferentes. A equação do 2º grau busca valores que satisfazem uma igualdade do tipo \(ax^2 + bx + c = 0\). A função quadrática estuda uma relação do tipo \(f(x) = ax^2 + bx + c\), incluindo gráfico, vértice, máximo, mínimo e outros elementos.

É melhor montar a equação ou testar as alternativas?

Depende da questão. Montar a equação costuma ser o método mais geral e seguro. Entretanto, quando as alternativas são numéricas e fáceis de testar, a substituição pode oferecer um caminho mais rápido.

Como melhorar em problemas com equações?

Treine separadamente a interpretação. Antes de resolver uma bateria de questões completa, pratique identificar a incógnita e montar a equação a partir do texto. Depois avance para a resolução e para técnicas de velocidade.

Resumo: o que você precisa dominar

Para resolver bem questões de equações em concursos, concentre seus estudos em:

• interpretar enunciados;
• escolher corretamente a incógnita;
• transformar palavras em expressões matemáticas;
• resolver equações do 1º grau;
• trabalhar com parênteses e frações;
• resolver sistemas de equações;
• reconhecer e resolver equações do 2º grau;
• interpretar a solução dentro do contexto do problema;
• conferir a resposta sempre que possível.

Equações ficam muito mais simples quando você deixa de enxergar o enunciado como um grande bloco de texto e passa a dividi-lo em pequenas relações matemáticas.

O objetivo não é decorar qual conta usar em cada problema, mas aprender a transformar as informações do enunciado em uma estrutura matemática que você saiba resolver.