Para resolver problemas de torneiras e trabalho conjunto, converta os tempos individuais na taxa de produtividade por unidade de tempo (1 dia ou 1 hora).
Em seguida, some as frações de rendimento — ou use o atalho do Produto pela Soma — e inverta a fração final para encontrar o tempo total em que o serviço será concluído.
A Técnica do Trabalho Conjunto (Problema das Torneiras / Produtividade)
Questões sobre torneiras enchendo tanques, trabalhadores realizando obras em equipe ou impressoras rodando relatórios juntas aparecem com enorme frequência nas bancas de concurso.
O erro mais comum dos candidatos é tentar somar diretamente os tempos individuais. Se o Trabalhador A leva 20 dias e o Trabalhador B leva 30 dias, eles juntos jamais levariam 50 dias!
Como estão somando forças, o tempo total trabalhando em conjunto deve ser obrigatoriamente menor do que o tempo do mais rápido deles.
Por que o Macete Funciona? (A Lógica da Fração Diária)
A matemática por trás desse tipo de problema baseia-se na taxa de produtividade por unidade de tempo (por dia, por hora ou por minuto):
- Se o Arquiteto A conclui um projeto em 20 dias, em 1 dia ele produz \(\frac{1}{20}\) do projeto.
- Se o Arquiteto B conclui o mesmo projeto em 30 dias, em 1 dia ele produz \(\frac{1}{30}\) do projeto.
Trabalhando juntos, em apenas 1 dia a equipe produz a soma dessas frações:
$$\text{Produtividade Conjunta em 1 dia} = \frac{1}{20} + \frac{1}{30}$$
Para resolver essa soma, tiramos o MMC entre 20 e 30 (que é 60):
$$\text{Produtividade Conjunta em 1 dia} = \frac{3 + 2}{60}$$
$$\text{Produtividade Conjunta em 1 dia} = \frac{5}{60}$$
Simplificando a fração por 5, temos que em 1 dia a equipe realiza:
$$\text{Produtividade Conjunta em 1 dia} = \frac{1}{12} \text{ do projeto}$$
Como a equipe faz \(\frac{1}{12}\) do trabalho por dia, para completar o projeto inteiro (1 inteiro ou \(\frac{12}{12}\)) basta inverter a fração final:
$$T_{\text{junto}} = \frac{12}{1} = 12 \text{ dias}$$
Para descobrir o tempo total (\(T_{\text{junto}}\)), tiramos o MMC e invertemos o resultado final.
O macete do Produto pela Soma é exatamente o atalho algébrico que economiza todas essas contas de fração!
A Fórmula Rápida: Produto pela Soma
Quando dois elementos trabalham juntos somando forças para realizar a mesma tarefa em tempos individuais \(T_1\) e \(T_2\), o tempo conjunto é calculado diretamente por:
$$T_{\text{junto}} = \frac{T_1 \cdot T_2}{T_1 + T_2}$$
Exemplo Prático de Prova
Exemplo: O arquiteto A consegue finalizar um projeto conceitual em 20 dias de trabalho. Já o arquiteto B, com menos experiência, realiza o mesmo projeto em 30 dias. Se os dois arquitetos trabalharem juntos no mesmo projeto, em quantos dias o projeto estará pronto?
Resolução em 10 Segundos com o Macete:
- Identifique os tempos individuais: \(T_1 = 20\) e \(T_2 = 30\).
- Aplique o Produto pela Soma:
$$T_{\text{junto}} = \frac{20 \cdot 30}{20 + 30}$$
$$T_{\text{junto}} = \frac{600}{50}$$
$$T_{\text{junto}} = 12 \text{ dias}$$
Pulo do Gato para a Hora da Prova:
Sempre faça o “teste de sanidade” no seu resultado! Como o arquiteto mais rápido leva 20 dias sozinho, a resposta trabalhando em dupla obrigatoriamente precisa ser menor que 20 dias.
Portanto, se o seu resultado der um número maior que 20, você errou a conta!
Variação 1: Elementos Trabalhando Contra (Torneira Enchendo + Ralo Esvaziando)
Quando uma torneira enche um reservatório enquanto um ralo o esvazia (ou quando uma máquina produz peças e outra retrabalha/descarta), os elementos estão atuando em sentidos opostos.
Em vez de somar as produtividades, nós subtraímos a taxa do ralo.
Fórmula do Produto pela Diferença:
$$T_{\text{junto}} = \frac{T_{\text{enche}} \cdot T_{\text{esvazia}}}{T_{\text{esvazia}} – T_{\text{enche}}}$$
Exemplo de Prova:
Uma torneira enche um tanque sozinha em 4 horas, enquanto um ralo o esvazia completamente em 6 horas. Se a torneira e o ralo forem abertos juntos com o tanque vazio, em quanto tempo o tanque ficará cheio?
Resolução Rápida (Produto pela Diferença):
$$T_{\text{junto}} = \frac{4 \cdot 6}{6 – 4}$$
$$T_{\text{junto}} = \frac{24}{2} = 12 \text{ horas}$$
Atenção: O denominador sempre será o tempo do ralo menos o tempo da torneira (\(T_{\text{esvazia}} – T_{\text{enche}}\)), pois para o tanque encher, o ralo precisa ser mais lento que a torneira!
Variação 2: Três ou Mais Elementos Atuando Juntos (Três Torneiras ou Vários Trabalhadores)
A regra do “Produto pela Soma” só funciona de forma direta para dois elementos por vez.
Se a questão trouxer três torneiras (ou duas torneiras e um ralo), o método mais seguro é trabalhar com a soma de frações de produtividade diária/horária.
Fórmula Geral para N elementos:
$$\frac{1}{T_{\text{total}}} = \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2} – \frac{1}{T_{\text{ralo}}}$$
Exemplo de Prova:
Três torneiras enchem um reservatório sozinhas em 2 horas, 3 horas e 6 horas, respectivamente. Quanto tempo levariam as três juntas?
Resolução por Fração Diária/Horária:
- Monte a soma das produtividades por hora:
$$\frac{1}{T_{\text{total}}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$$
- Tire o MMC dos denominadores (2, 3 e 6, que é 6):
$$\frac{1}{T_{\text{total}}} = \frac{3 + 2 + 1}{6}$$
$$\frac{1}{T_{\text{total}}} = \frac{6}{6} = 1$$
- Invertendo a fração, temos \(T_{\text{total}} = 1 \text{ hora}\).
Logo, as 3 torneiras juntas levariam 1 hora para encher o reservatório.
Macete de Prova (Resolução em Duplas):
Se você não quiser tirar MMC com frações de 3 elementos, aplique o Produto pela Soma nas duas primeiras torneiras e, com o resultado obtido, aplique o Produto pela Soma novamente com a terceira torneira!
1º Passo: Torneira 1 e Torneira 2 (2h e 3h):
$$T_{1,2} = \frac{2 \cdot 3}{2 + 3} = \frac{6}{5} = 1{,}2 \text{ horas}$$
2º Passo: Resultado anterior (1,2h) com a Torneira 3 (6h):
$$T_{\text{total}} = \frac{1{,}2 \cdot 6}{1{,}2 + 6} = \frac{7{,}2}{7{,}2} = 1 \text{ hora}$$
Resumo dos Métodos e Fórmulas
Este cálculo de produtividade é uma das aplicações fundamentais de proporcionalidade.
Para entender os fundamentos sobre grandezas diretas e inversas, consulte o nosso [Guia Completo de Razão e Proporção para Concursos].
Pratique com questões resolvidas
- [Questão Resolvida do Instituto Consulplan (2026) – Trabalho Conjunto de Arquitetos] Aplique a técnica da produtividade diária e o macete do Produto pela Soma em uma questão recente do CAU-CE.
- [Questão Resolvida da Objetiva (2026) – Divisão Inversamente Proporcional] Veja como a lógica de resolução muda quando a partilha precisa ser inversamente proporcional às grandezas informadas.
- [Questão Resolvida da Gama Consult (2026) – Razão em Mistura de Fluídos] Entenda como montar a proporção sem erros em problemas que envolvem combinação e proporção de misturas.
- [Questão Resolvida da Avança SP (2026) – Divisão Proporcional por Idades] Aprenda a distribuir valores de forma diretamente proporcional utilizando o método prático da constante única.
Perguntas frequentes
Por que o resultado final de dois elementos trabalhando juntos sempre dá menor que o menor tempo individual?
Porque ao adicionar um segundo elemento para realizar a mesma tarefa, a taxa de produção por unidade de tempo aumenta.
Com uma produção maior a cada hora ou dia, o tempo total para concluir o serviço obrigatoriamente diminui.
É possível usar a fórmula do Produto pela Soma para três elementos de uma vez só?
Não diretamente com três termos na mesma fração. O atalho \(\frac{A \cdot B}{A + B}\) é válido apenas para dois elementos.
Para três elementos, você deve usar a soma de frações tradicional com MMC ou aplicar o macete em duplas (calcular o resultado de dois elementos e depois combinar esse resultado com o terceiro).
O que fazer se os tempos forem fornecidos em unidades diferentes (ex.: horas e minutos)?
Antes de aplicar qualquer fórmula ou montar as frações, converta todos os tempos fornecidos para a mesma unidade de medida (por exemplo, transformando todas as horas em minutos).
Conclusão
Saber como resolver problemas de torneiras e trabalho conjunto é essencial para acertar questões de produtividade em concursos.
Ao transformar os tempos em taxas de rendimento por unidade de tempo e utilizar atalhos como o Produto pela Soma ou Produto pela Diferença, você ganha agilidade e evita erros comuns na hora da prova.