Questões sobre fusão de dois conjuntos com proporções diferentes costumam assustar quem tenta resolver por equações longas.
Nesta questão do Instituto Consulplan para o CAU-CE, você vai aprender a técnica de igualar as partes para encontrar a resposta em poucos minutos sem se perder nas contas!
📌 DADOS DA QUESTÃO
- Banca: Instituto Consulplan
- Ano: 2026
- Órgão: CAU-CE (Conselho de Arquitetura e Urbanismo do Ceará)
- Cargo: Assistente Administrativo
- Disciplina: Matemática / Raciocínio Lógico
- Assunto: Razão e Proporção (Soma e Fusão de Proporções)
Enunciado
Dois escritórios de arquitetura possuem a mesma quantidade total de projetos em andamento, distribuídos apenas entre projetos residenciais e projetos comerciais. No primeiro escritório, a razão entre o número de projetos residenciais e o número de projetos comerciais é de \(1/3\), nessa ordem. Já no segundo escritório, essa mesma razão é de \(3/2\). Com a criação de um consórcio entre os dois escritórios para participar de um grande plano urbanístico, todos os projetos foram reunidos em um único portfólio. De acordo com o exposto, nesse novo conjunto de projetos, qual é a razão entre o número de projetos residenciais e o número de projetos comerciais, nessa ordem?
A) \(15/17\).
B) \(17/23\).
C) \(23/25\).
D) \(25/27\).
E) \(27/31\).
Resolução Passo a Passo
Passo 1: Compreender o total de partes de cada escritório
No Escritório 1, a razão entre Residenciais (\(R_1\)) e Comerciais (\(C_1\)) é de \(1/3\):
- \(R_1 = 1 \text{ parte}\)
- \(C_1 = 3 \text{ partes}\)
- Total de partes no Escritório 1: \(1 + 3 = 4 \text{ partes}\)
No Escritório 2, a razão entre Residenciais (\(R_2\)) e Comerciais (\(C_2\)) é de \(3/2\):
- \(R_2 = 3 \text{ partes}\)
- \(C_2 = 2 \text{ partes}\)
- Total de partes no Escritório 2: \(3 + 2 = 5 \text{ partes}\)
⚡ Macete do Fator k (Igualando os Totais):
O enunciado garante que os dois escritórios têm a mesma quantidade total de projetos. No entanto, um está dividido em \(4\) partes e o outro em \(5\) partes.
Para resolver sem usar frações complexas, basta encontrar o MMC entre \(4\) e \(5\), que é \(20\). Vamos supor que cada escritório possui \(20\) projetos no total.
Passo 2: Calcular a quantidade de projetos em cada escritório
- Escritório 1 (\(20\) projetos no total):Como a soma das partes é \(4\), cada parte vale \(\frac{20}{4} = 5\) projetos.
- \(R_1 = 1 \times 5 = 5 \text{ projetos residenciais}\)
- \(C_1 = 3 \times 5 = 15 \text{ projetos comerciais}\)
- Escritório 2 (\(20\) projetos no total):Como a soma das partes é \(5\), cada parte vale \(\frac{20}{5} = 4\) projetos.
- \(R_2 = 3 \times 4 = 12 \text{ projetos residenciais}\)
- \(C_2 = 2 \times 4 = 8 \text{ projetos comerciais}\)
Passo 3: Unir os portfólios no consórcio
Com a criação do consórcio, somamos diretamente os projetos do mesmo tipo:
- Total de Projetos Residenciais:
$$R_{\text{total}} = 5 + 12 = 17$$
- Total de Projetos Comerciais:
$$C_{\text{total}} = 15 + 8 = 23$$
Passo 4: Calcular a nova razão do portfólio reunido
A nova razão entre o número de projetos residenciais e comerciais é dada por:
$$\text{Razão Final} = \frac{R_{\text{total}}}{C_{\text{total}}} = \frac{17}{23}$$
Gabarito Oficial
✅ Alternativa B (17/23).
Conceitos Matemáticos Utilizados
- Razões Especiais e Proporcionalidade: Compreensão de antecedente, consequente e divisão proporcional em partes.
- Igualdade de Conjuntos por Múltiplos Comuns (MMC): Técnica de atribuição de valor total comum para simplificar o cálculo com frações.
- Soma de Proporções (Fusão de Portfólios): Agrupamento de grandezas de mesma natureza em novos conjuntos.
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