Use a calculadora de MDC para encontrar o máximo divisor comum de dois ou mais números.
Além do resultado, veja o cálculo passo a passo e aprenda como identificar o MDC em questões de concursos.
Calculadora de MDC
Digite dois ou mais números inteiros positivos.
Decomposição simultânea
Dividimos todos os números pelo mesmo fator primo enquanto houver um divisor comum entre eles.
| Números | Divisor comum |
|---|
Método para usar na prova
No MDC, só fazemos a divisão quando todos os números são divisíveis pelo mesmo fator. Continue enquanto houver um divisor comum e, ao final, multiplique os divisores utilizados.
Conferindo pelos divisores
Veja os divisores de cada número. O maior valor que aparece em todas as listas é o MDC.
Por que usamos MDC?
O MDC é usado quando precisamos dividir quantidades em grupos ou partes iguais, sem deixar resto, procurando a maior divisão comum possível.
O que é MDC?
MDC significa Máximo Divisor Comum. Ele é o maior número inteiro positivo capaz de dividir dois ou mais números sem deixar resto.
Por exemplo, considere os números 18 e 24.
Os divisores de 18 são:
1, 2, 3, 6, 9 e 18
Os divisores de 24 são:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24
Os divisores comuns são 1, 2, 3 e 6. Como 6 é o maior deles, temos:
MDC(18, 24) = 6
Em questões de concursos, o MDC aparece principalmente em problemas que envolvem divisão em partes iguais, formação de grupos ou divisão de quantidades sem deixar resto.
Como calcular o MDC?
Existem diferentes maneiras de calcular o MDC. Uma das mais práticas para questões de concursos é a decomposição simultânea.
Nesse método, dividimos os números por um mesmo fator primo sempre que todos eles forem divisíveis por esse fator.
Vamos calcular o MDC de 120 e 144.
Podemos dividir os dois números sucessivamente por fatores comuns:
120 e 144 → dividir por 2
60 e 72 → dividir por 2
30 e 36 → dividir por 2
15 e 18 → dividir por 3
5 e 6
Multiplicamos os fatores comuns utilizados:
2 × 2 × 2 × 3 = 24
Portanto:
MDC(120, 144) = 24
Atenção a uma diferença importante
No cálculo do MDC, só utilizamos um fator na decomposição simultânea quando todos os números podem ser divididos por ele ao mesmo tempo.
Essa diferença é importante porque, no cálculo do MMC, o procedimento não exige que todos os números sejam divisíveis pelo fator escolhido.
Como calcular o MDC pelos divisores?
Outra maneira simples de encontrar o MDC é escrever os divisores de cada número e identificar o maior divisor comum.
Considere novamente 18 e 24:
Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
O maior número presente nas duas listas é 6.
Logo:
MDC(18, 24) = 6
Esse método é bastante didático quando os números são pequenos. Para números maiores, a decomposição costuma ser mais rápida.
Quando usar MDC em questões de concursos?
Saber calcular o MDC é importante, mas em uma prova existe uma dificuldade adicional: identificar que o problema deve ser resolvido usando MDC.
Ele costuma aparecer quando uma quantidade precisa ser dividida em grupos ou partes iguais, sem sobras, buscando a maior divisão possível.
Algumas expressões que podem indicar MDC são:
- maior número possível de grupos iguais;
- maior tamanho possível;
- dividir em partes iguais;
- sem deixar resto;
- maior quantidade possível em cada grupo;
- cortar em pedaços iguais de maior comprimento possível.
Essas expressões são pistas, e não uma regra automática. É necessário interpretar o que o problema está pedindo.
Exemplo
Uma escola possui 120 cadernos de um tipo e 144 cadernos de outro. Os cadernos serão organizados em conjuntos de mesmo tamanho, sem misturar os tipos e sem deixar nenhum caderno sobrando.
Qual é o maior número de cadernos que cada conjunto pode conter?
Precisamos encontrar o maior número que divide 120 e 144 sem deixar resto.
Portanto:
MDC(120, 144) = 24
Cada conjunto poderá conter 24 cadernos.
Qual é a diferença entre MMC e MDC?
Essa é uma das dúvidas mais importantes para quem estuda matemática para concursos.
1. MMC — Mínimo Múltiplo Comum
Procure pelo MMC quando o problema envolver acontecimentos que se repetem em determinados intervalos e você precisar descobrir quando eles voltarão a coincidir.
Exemplo:
Uma atividade acontece a cada 6 dias e outra a cada 8 dias. Depois de quantos dias elas acontecerão juntas novamente?
Nesse caso, calculamos:
MMC(6, 8) = 24
As atividades voltarão a coincidir depois de 24 dias.
→ Use nossa Calculadora de MMC para calcular o mínimo múltiplo comum passo a passo.
2. MDC — Máximo Divisor Comum
Procure pelo MDC quando o problema envolver a divisão de quantidades em grupos ou partes iguais, procurando a maior divisão possível e sem deixar resto.
Exemplo:
Temos 18 objetos de um tipo e 24 de outro. Qual é o maior número de objetos que cada grupo pode conter, mantendo grupos iguais e sem sobras?
Nesse caso:
MDC(18, 24) = 6
Macete para diferenciar
MMC → coincidir, repetir, acontecer novamente.
MDC → dividir, agrupar, repartir sem sobrar.
Não use o macete isoladamente: primeiro interprete o problema e verifique qual grandeza está sendo procurada.
Veja também:
Como calcular o MDC de três ou mais números?
O MDC também pode ser calculado para três ou mais números.
Por exemplo:
MDC(24, 36, 60)
Na decomposição simultânea, utilizamos apenas os fatores que dividem todos os números ao mesmo tempo:
24, 36 e 60 → ÷ 2
12, 18 e 30 → ÷ 2
6, 9 e 15 → ÷ 3
2, 3 e 5
Multiplicando os divisores comuns:
2 × 2 × 3 = 12
Portanto:
MDC(24, 36, 60) = 12
A calculadora acima permite adicionar mais números pelo botão “+ Adicionar número”.
E quando o MDC é igual a 1?
Quando dois ou mais números não possuem nenhum divisor comum maior que 1, o MDC é igual a 1.
Por exemplo:
MDC(7, 11) = 1
Os números 7 e 11 não possuem divisor comum maior que 1.
Nesse caso, dizemos que eles são primos entre si ou coprimos.
Isso não significa necessariamente que cada número precisa ser primo. Por exemplo:
MDC(8, 15) = 1
Embora 8 e 15 não sejam números primos, eles não possuem divisor comum maior que 1 e, portanto, são primos entre si.
Existe uma fórmula para calcular o MDC?
Para dois números positivos, existe uma relação importante entre MDC e MMC:
MDC(a, b) × MMC(a, b) = a × b
Consequentemente:
MDC(a, b) = (a × b) ÷ MMC(a, b)
Por exemplo, sabendo que:
MMC(12, 18) = 36
podemos calcular:
MDC(12, 18) = (12 × 18) ÷ 36
MDC(12, 18) = 216 ÷ 36 = 6
Entretanto, para resolver questões de concursos, é importante também dominar métodos como a decomposição, pois eles ajudam a compreender a relação entre os números e a reconhecer quando utilizar MMC ou MDC.
Treine MDC com questões de concursos
CONSULPLAN — Prefeitura de Vitória
Problema envolvendo a divisão de cabos de 120 e 180 metros em pedaços iguais de maior comprimento possível, sem sobras.
Ver questão resolvida →
CONSULPLAN — Prefeitura de Vitória
Problema envolvendo 288 lacres, 360 etiquetas e 432 formulários distribuídos no maior número possível de kits iguais, sem sobras.
Ver questão resolvida →
VUNESP — CAU-SP
Problema envolvendo a distribuição de folhas amarelas e brancas em envelopes, formando divisões iguais sem deixar folhas de fora.
Ver questão resolvida →
LEGALLE — Prefeitura de Marques de Souza
Problema envolvendo 120 pacotes de canetas azuis e 144 pacotes de canetas pretas organizados em caixas com a maior quantidade possível, sem sobras.
Ver questão resolvida →
Perguntas frequentes sobre MDC
O que significa MDC?
MDC significa Máximo Divisor Comum. É o maior número inteiro positivo que divide dois ou mais números sem deixar resto.
Como calcular o MDC?
Uma maneira é fazer a decomposição simultânea dos números utilizando apenas fatores que dividem todos eles. Ao final, multiplicamos os fatores comuns utilizados. Também é possível listar os divisores dos números e escolher o maior divisor presente em todas as listas.
Posso calcular o MDC de três ou mais números?
Sim. O MDC pode ser calculado para três ou mais números. Na decomposição simultânea, devem ser considerados os fatores que dividem todos os números ao mesmo tempo.
Qual é o MDC de dois números iguais?
O MDC de dois números iguais é o próprio número. Por exemplo:
MDC(15, 15) = 15
Quando o MDC é igual a 1?
O MDC é 1 quando os números não possuem nenhum divisor comum maior que 1. Nesse caso, eles são chamados de primos entre si ou coprimos.
Qual é a diferença entre MMC e MDC?
O MMC procura o menor múltiplo comum entre os números e aparece frequentemente em problemas envolvendo ciclos e coincidências. O MDC procura o maior divisor comum e aparece frequentemente em problemas envolvendo divisão em grupos ou partes iguais sem deixar resto.