Dados da Questão
- Banca: VUNESP
- Ano: 2026
- Órgão: CAU-SP (Conselho de Arquitetura e Urbanismo de São Paulo)
- Cargo: Assistente Técnico – Apoio à Fiscalização
- Disciplina: Matemática
- Assunto principal: Máximo Divisor Comum (MDC)
- Subassunto: Divisão de conjuntos em partes iguais e máximas
Esta questão cobrada pela VUNESP no concurso do CAU-SP aborda a divisão de duas quantidades de objetos (folhas amarelas e brancas) em recipientes iguais (envelopes) sob a condição de obter o maior número possível de compartimentos sem deixar sobras.
Abaixo apresentamos a resolução passo a passo utilizando o Máximo Divisor Comum (MDC), acompanhada de um método de atalho para otimizar o tempo de prova.
Enunciado
Um total de 1.170 folhas de papel sulfite, sendo 450 na cor amarela e as demais na cor branca, serão distribuídas em envelopes, de modo que cada envelope venha conter x unidades de folha na cor amarela e y unidades de folhas na cor branca, sem sobrar folha fora dos envelopes.
Se a escolha do número de envelopes for feita pelo maior número possível e atendendo as condições apresentadas, a diferença y – x será igual a
A) 1.
B) 2.
C) 3.
D) 4.
E) 5.
Resolução passo a passo
Passo 1: Determinar a quantidade de folhas brancas
O enunciado informa que há 1.170 folhas de papel sulfite, sendo 450 amarelas e as demais brancas. Como as folhas devem ser distribuídas em envelopes respeitando as condições de divisão apresentadas na questão, precisamos determinar primeiro a quantidade de folhas brancas.
O problema envolve o Máximo Divisor Comum (MDC) porque buscamos uma divisão exata em grupos, sem sobras, considerando a maior quantidade possível de folhas por grupo. Assim, antes de calcular o MDC, encontramos:
Portanto, temos 450 folhas amarelas e 720 folhas brancas.
Passo 2: Calcular o número máximo de envelopes usando o MDC
Para encontrar o maior número possível de envelopes que recebam quantidades idênticas de folhas amarelas e brancas sem sobras, calcula-se o \(\text{MDC}(450, 720)\) por decomposição simultânea em fatores primos:
$$\begin{array}{cc\|l} 450, & 720 & 2 \quad \text{* (divide ambos)} \\ 225, & 360 & 2 \\ 225, & 180 & 2 \\ 225, & 90 & 2 \\ 225, & 45 & 3 \quad \text{* (divide ambos)} \\ 75, & 15 & 3 \quad \text{* (divide ambos)} \\ 25, & 5 & 5 \quad \text{* (divide ambos)} \\ 5, & 1 & 5 \\ 1, & 1 & \end{array}$$
Multiplicando apenas os fatores primos que dividiram ambos os números ao mesmo tempo (marcados com *):
\(\text{MDC}(450, 720) = 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 90\)
Isso significa que o número máximo de envelopes é 90.
Passo 3: Encontrar os valores de \(x\) e \(y\)
Agora dividimos o total de cada tipo de folha pelo número de envelopes (\(90\)):
- \(x\) (folhas amarelas por envelope): \(x = \frac{450}{90} = 5\)
- \(y\) (folhas brancas por envelope): \(y = \frac{720}{90} = 8\)
Cada envelope conterá \(5\) folhas amarelas e \(8\) folhas brancas.
Passo 4: Calcular a diferença \(y – x\)
O enunciado solicita o valor da diferença \(y – x\):
\(y – x = 8 – 5 = 3\)
Gabarito
✅ Alternativa C) 3.
A diferença entre a quantidade de folhas brancas (\(y = 8\)) e amarelas (\(x = 5\)) contidas em cada envelope é igual a \(3\).
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Método rápido para a prova
Você pode encontrar a diferença \(y – x\) diretamente a partir da própria diferença do total de folhas, poupando etapas de divisão no final.
Atalho: A diferença das quantidades de folhas contidas em um único envelope é igual à diferença total de folhas dividida pelo MDC.
- Diferença total de folhas brancas e amarelas: \(720 – 450 = 270\)
- Dividir a diferença pelo MDC (\(90\)): \(y – x = \frac{270}{90} = 3\)
Este atalho elimina a necessidade de calcular as variáveis \(x\) e \(y\) individualmente antes de efetuar a subtração.
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Cuidado com este erro
O erro mais comum nesta questão é calcular o \(\text{MDC}(450, 720) = 90\) e tentar associar esse resultado diretamente às alternativas ou calcular \(x + y = 13\) (total de folhas por envelope) em vez da diferença \(y – x\).