Em questões envolvendo o máximo divisor comum (MDC), muitos candidatos erram essa divisão em partes iguais por confundirem o tamanho máximo do pedaço com a quantidade total de pedaços.
O Instituto Consulplan ama explorar essa pegadinha! Com o passo a passo a seguir, você nunca mais vai escorregar nesse detalhe.
Dados da Questão
- Banca: Instituto Consulplan
- Ano: 2026
- Órgão: Prefeitura de Vitória – ES
- Cargo: Analista em Gestão Pública – Economista
- Disciplina: Matemática
- Assunto: Máximo Divisor Comum (MDC) e Problemas de Divisão em Partes Iguais
Enunciado
O engenheiro civil de determinada prefeitura precisa dividir dois cabos de aço – um de \(120\) metros e outro de \(180\) metros – em pedaços de mesmo comprimento, de forma que os pedaços tenham o maior tamanho possível e não haja sobras. Nessas condições, qual será a soma do número total de pedaços obtidos dos dois cabos?
A) \(4\).
B) \(5\).
C) \(6\).
D) \(8\).
Resolução Passo a Passo
Passo 1: Identificar o Método de Resolução (MDC)
O enunciado nos dá três pistas fundamentais:
- “Dividir em pedaços de mesmo comprimento” \(\rightarrow\) Divisor
- “Maior tamanho possível” \(\rightarrow\) Máximo
- “Não haja sobras” \(\rightarrow\) Comum
Logo, devemos calcular o Máximo Divisor Comum (MDC) entre \(120\) e \(180\).
Passo 2: Calcular o MDC de 120 e 180
Fatorando simultaneamente \(120\) e \(180\) apenas pelos divisores primos comuns:
$$120, 180 \mid 2$$
$$60, 90 \mid 2$$
$$30, 45 \mid 3$$
$$10, 15 \mid 5$$
$$2, 3$$
Multiplicando os fatores comuns obtidos:
$$\text{MDC}(120, 180) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$$
O maior tamanho possível de cada pedaço é de \(60\) metros.
Macete de Prova (A Sacada do Resto da Fatoração):
Você não precisa fazer divisões longas no final! Repare que os últimos números que sobram na fatoração simultânea (\(2\) e \(3\)) já indicam exatamente a quantidade de pedaços de cada cabo: o de \(120\) metros rende \(2\) pedaços e o de \(180\) metros rende \(3\) pedaços.
Passo 3: Calcular a Soma do Número Total de Pedaços
Agora dividimos o comprimento de cada cabo pelo tamanho do pedaço (\(60\) metros):
- Primeiro cabo: \(\frac{120}{60} = 2\) pedaços
- Segundo cabo: \(\frac{180}{60} = 3\) pedaços
Somando a quantidade total de pedaços obtidos:
$$\text{Total de pedaços} = 2 + 3 = 5 \text{ pedaços}$$
Gabarito Oficial
✅ Alternativa B) 5.
Conceitos Matemáticos Utilizados
- Máximo Divisor Comum (MDC): Determinação do maior fator inteiro capaz de dividir dois ou mais números sem deixar resto.
- Divisibilidade e Decomposição em Fatores Primos: Fatoração simultânea de números inteiros para simplificação de frações e grandezas.
- Problemas de Otimização e Partição: Modelagem matemática para divisão ideal de conjuntos e comprimentos em partes iguais.
A interpretação de problemas de divisão e otimização é uma habilidade indispensável para quem busca a aprovação.
Para dominar os métodos de estruturar enunciados e evitar pegadinhas clássicas de banca, acesse o nosso Guia completo sobre Equações e Problemas. Se você quer revisar a base teórica de proporção e grandezas diretas, veja também o nosso Guia completo de Razão e Proporção.