Você já travou em uma questão da FUNDATEC que pedia o “valor máximo” ou “mínimo” de uma situação? Esse tipo de problema envolvendo funções do 2º grau é clássico em concursos e, com o passo a passo correto, você vai ver que é mais simples do que parece. Vamos resolver juntos?
Dados da Questão
- Banca: FUNDATEC
- Ano: 2026
- Órgão: Prefeitura de Nova Candelária – RS
- Cargo: Agente Administrativo e Agente Comunitário de Saúde
- Disciplina: Matemática
- Assunto: Função Quadrática (Função do 2º Grau)
Enunciado
O auxiliar de tesouraria de uma repartição pública observou que a arrecadação municipal, em milhares de reais, pode ser modelada pela função do 2º grau:
$$f(x) = –2x^2 + 12x + 10$$
onde \(x\) representa o número de meses após o início do ano. Com base nessa função, qual é o valor máximo da arrecadação, em milhares de reais, previsto pelo modelo?
A) \(18\).
B) \(22\).
C) \(28\).
D) \(34\).
Resolução Passo a Passo
Passo 1: Entender a Função e o Pedido
A questão nos fornece a função
$$f(x) = –2x^2 + 12x + 10$$
.
Aqui, \(f(x)\) representa a arrecadação (em milhares de reais) e \(x\) representa o tempo (em meses).
Como o coeficiente \(a\) (o número que acompanha o \(x^2\)) é negativo (\(a = -2\)), a parábola que representa essa função tem a concavidade voltada para baixo. Isso confirma que a função possui, de fato, um ponto de máximo.
O problema pede o valor máximo da arrecadação. Na matemática, isso corresponde a encontrar a ordenada do vértice da parábola, conhecida como \(Y_V\).
Passo 2: Identificar os Coeficientes
Para usar as fórmulas, precisamos identificar os coeficientes \(a\), \(b\) e \(c\) da lei de formação \(f(x) = ax^2 + bx + c\).
Na função dada:
- \(a = -2\)
- \(b = 12\)
- \(c = 10\)
Passo 3: Calcular a Arrecadação Máxima (\(Y_V\))
Temos dois caminhos para encontrar o \(Y_V\). Vamos pelo caminho mais direto utilizando a fórmula do \(\Delta\) (delta) e depois a fórmula do \(Y_V\).
A) Primeiro, calculamos o \(\Delta\):
$$\Delta = b^2 – 4ac$$
$$\Delta = (12)^2 – 4 \cdot (-2) \cdot 10$$
$$\Delta = 144 – (-8) \cdot 10$$
$$\Delta = 144 + 80$$
$$\Delta = 224$$
B) Agora, aplicamos a fórmula do \(Y_V\):
$$Y_V = \frac{-\Delta}{4a}$$
$$Y_V = \frac{-224}{4 \cdot (-2)}$$
$$Y_V = \frac{-224}{-8}$$
$$Y_V = 28$$
Macete de Prova: Caminho Alternativo sem \(\Delta\)
Se você acha a fórmula do \(Y_V\) difícil de lembrar, existe um atalho. Primeiro, calcule o \(X_V\) (o tempo que leva para atingir o máximo) usando a fórmula mais simples: \(X_V = \frac{-b}{2a}\).
$$X_V = \frac{-12}{2 \cdot (-2)} = \frac{-12}{-4} = 3$$
.
O valor máximo ocorre no mês \(3\). Agora, basta substituir \(x = 3\) na função original para achar a arrecadação:
$$f(3) = -2(3)^2 + 12(3) + 10$$
$$f(3) = -2(9) + 36 + 10$$
$$f(3) = -18 + 36 + 10 = 28$$
.
Chegamos ao mesmo resultado!
Passo 4: Interpretar o Resultado e a Unidade de Medida
Encontramos que o valor máximo de \(f(x)\) é \(28\).
Lembrando do enunciado: a função modela a arrecadação em milhares de reais.
Portanto, o valor máximo é \(28\) milhares de reais (\(R\$ 28.000,00\)).
Visualização Gráfica do Problema
Para fixar o conceito de ponto de máximo e entender visualmente o comportamento da função \(f(x) = -2x^2 + 12x + 10\), veja o esboço do gráfico da parábola abaixo:
Explicação do Gráfico:
- Início do Ano (\(x = 0\)): O gráfico corta o eixo vertical no valor \(10\). Isso indica que a arrecadação inicial (no mês \(0\)) era de \(10\) milhares de reais (\(R\$ 10.000,00\)).
- Eixo Horizontal (\(X_V = 3\)): O tempo necessário para atingir o pico da arrecadação é de exatamente \(3\) meses.
- Eixo Vertical (\(Y_V = 28\)): O topo da parábola (o vértice) corresponde ao valor máximo que a função atinge no eixo \(Y\), ou seja, \(28\) milhares de reais.
Gabarito Oficial
✅ Alternativa C) 28.
Conceitos Matemáticos Utilizados
- Função Quadrática: Definição e identificação de coeficientes.
- Ponto de Máximo: Interpretação geométrica baseada no coeficiente \(a < 0\).
- Vértice da Parábola (\(Y_V\)): Cálculo da ordenada do vértice para determinar o valor máximo da função.
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