Para fazer uma divisão inversamente proporcional, dividimos uma quantia em partes que são diretamente proporcionais aos inversos dos números dados.
Isso significa que quanto maior for o número de referência, menor será a parte recebida.
Como calcular a divisão inversamente proporcional?
Dada uma quantia \(N\) para ser dividida de forma inversamente proporcional aos números \(a\), \(b\) e \(c\), representamos as partes por \(X\), \(Y\) e \(Z\).
A propriedade fundamental garante que o produto de cada parte pelo seu número correspondente é igual a uma constante \(k\):
$$a \cdot X = b \cdot Y = c \cdot Z = k$$
Isso nos dá o valor de cada parte em função de \(k\):
$$X = \frac{k}{a}, \quad Y = \frac{k}{b}, \quad Z = \frac{k}{c}$$
Como a soma das partes é igual ao total (\(X + Y + Z = N\)), substituímos os valores e resolvemos a equação para encontrar \(k\):
$$\frac{k}{a} + \frac{k}{b} + \frac{k}{c} = N$$
Após encontrar o valor de \(k\), basta dividi-lo por cada um dos números de referência para obter o valor de cada parte.
Exemplo resolvido
Divida o valor de R$ 900 de forma inversamente proporcional a 3, 4 e 6.
- Escreva as partes em função de \(k\):
$$X = \frac{k}{3}, \quad Y = \frac{k}{4}, \quad Z = \frac{k}{6}$$
- Monte a equação com a soma das partes:
$$\frac{k}{3} + \frac{k}{4} + \frac{k}{6} = 900$$
- Elimine os denominadores pelo MMC (que é 12):
$$4k + 3k + 2k = 10800$$
$$9k = 10800 \Rightarrow k = 1200$$
- Calcule o valor de cada parte:
- 1ª parte: R$ 1200 / 3 = R$ 400
- 2ª parte: R$ 1200 / 4 = R$ 300
- 3ª parte: R$ 1200 / 6 = R$ 200
Note que quem tinha o menor número de referência (3) recebeu a maior parte (R$ 400).
Macete para divisão inversamente proporcional
Em provas de concursos públicos, onde o tempo é escasso, você pode aplicar diretamente o Macete do K.
Em vez de tirar o MMC no meio da equação, monte a soma das frações mantendo a constante \(k\) em evidência desde a primeira linha.
Isso simplifica a manipulação algébrica e evita erros comuns ao somar números fracionários.
Erros comuns ao resolver
- Confundir divisão direta com inversa: Dividir diretamente pelos números em vez de utilizar seus inversos. Lembre-se: na divisão inversa, a maior parte fica com o menor número.
- Esquecer de somar as frações corretamente: Ao somar termos como \(\frac{k}{a} + \frac{k}{b}\), é obrigatório utilizar o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) para reduzir os denominadores.
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